(2) Travail sur les médiatrices

Dans un repère orthonormé \(\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère les points \(\text A (1;1)\), \(\text B (1;-5)\) et \(\text C (6;4)\) formant ainsi le triangle \(\text{ABC}\). On note \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) les médiatrices respectives des segments \([\text{AB}]\), \([\text{BC}]\) et \([\text{AC}]\). On donne la propriété suivante.

Propriété
On se place dans un repère orthonormé. On considère deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de coefficients directeurs \(m\) et \(m^{\prime}\). Ces deux droites sont perpendiculaires si et seulement si  : \(\boxed{m \times m^{\prime} = -1}\).

Montrer que les médiatrices \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) sont concourantes en un point \(\text M\) dont on précisera les coordonnées.

Conclusion : le point \(\text M\) est appelé centre du cercle circonscrit au triangle \(\text {ABC}\).